toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề thi học sinh giỏi”

187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 07/01/2010 – Thời gian: 150 phút


ĐỀ:
Câu 1. (4 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
a)

b) 12 – 22 + 32 – 42 + …+20072 – 20082 + 20092

Câu 2. (4 điểm)
a) Tính giá trị lớn nhất của hàm số:
y =

b) Cho hai hàm số:
f(x) = x5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 và g(x) = x2 – 2.
Tính giá trị của tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) biết f(x) có thể phân tích thành:
f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)(x – e)

Câu 3. (4 điểm)
Cho phương trình:

, với a là tham số.
a) Giải phương trình trên
b) Cho a = p2 với p là một số nguyên tố. Chứng minh phương trình trên chỉ một nghiệm và ngiệm đó là hợp số.

Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 6; 8 và 10. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

Câu 5. (3 điểm)
Cho hình tròn có diện tích 2010 và 2011 điểm bất kỳ nằm trong hình tròn, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 2.

Câu 6. (2 điểm)
Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 07/01/2010 – Thời gian: 150 phút

Câu 1.(4 đ)
Tính:
a)

Xét số hạng tổng quát của dãy:

=
(1)
Cho n lấy các giá trị từ 1 đến 2009, thay vào (1), ta được 2009 đẳng thức, cộng vế theo các dẳng thức này ta được:

=
.

b) 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092
Dãy trên có 2009 số hạng, gồm 1004 cặp số đầu và số hạng cuối là 20092 nên tổng bằng:
(1 – 2)(1 + 2) + (3 – 4)(3 + 4) +…+ (2007- 2008)(2007 + 2008) + 20092 =
= (-1).3 + (-1).7 + (-1).11 +…+ (-1).4015 + 20092 =
=
= - 2009.1004 + 20092 =
= 2009.(2009 – 1004) = 2009.1005 = 2 019 045.
Vậy 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 20072 – 20082 + 20092 = 2 019 045

Câu 2.(4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của y =

Ta giải bằng phương pháp đồ thi.
Ta vẽ đồ thị của hàm số trên:
+) Với x ( -1:
y = - x + 2 + 2x + 2 + x = 2x + 4:
đồ thị là tia At với A(-1; 2)
+) Với -1 ( x ( 2:
y = - x + 2 - 2x – 2 + x = - 2x:
đồ thị là đoạn thẳng AB đi qua gốc O
với A(-1; 2), B(2; -4)
+) Với x ( 2:
y = x – 2 – 2x – 2 + x = - 4:
đồ thị là tia Bz // Ox với B(2; - 4)
Do đó đồ thị hàm số đã cho gồm ba nhánh:
Tia At, đoạn thẳng AB và tia Bz.
Từ đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là
y = 2 tại x = - 1.
Vậy ymax = 2 khi x = - 1.
b) Tính giá trị của tích: g(a)g(b)g(c)g(d)g(e)
Ta có g(x) = x2 - 2
Ta phân tích đa thức f(x) = x5 + 7x4 – 7x3 – 49x2 + 12x + 84 thành nhân tử