PHÒNG GD & ĐT CÙ LAO DUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS AN THẠNH TÂY NĂM HỌC: 2012 – 2013.
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)



Bài 1. (3 điểm)
Thực hiện tính:

với

Bài 2: (4 điểm). Giải các phương trình
a.



Bài 3: (3 điểm)
Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC.
2

BH.KM = BA.KN
c

Bài 5 (6 điểm )
1) Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
Chứng minh :

Chứng minh :
; ( Kí hiệu
là diện tích tứ giác ABCD )
2) Cho tam giác ABC cân tại A có
.Chứng minh :
là số vô tỉ.





Phòng gD&ĐT CÙ LAO DUNG
Trường THCS AN THẠNH TÂY

Hd chấm Đề thi học sinh giỏi
Môn: Toán 9


Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm


Bài 1.
(3 đ)





1,5


Thay
vào được:


1,5




Bài 2
(4 đ)
ĐK:


; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
2


ĐKXĐ:





và


2






Bài 3
(3đ)

+ Gọi số ô tô lúc đầu là
( x nguyên và x ( 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là
thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y ( 30).
+ Do đó ta có phương trình:

1,5





+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên
phải là ước số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên:
hoặc

Nếu
thì
(trái giả thiết)
Nếu
thì
< 30 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:

học sinh.

1,5



























Bài 4
(4 đ)





























a/ ( 1 đ )

vuông tại E nên
;
vuông tại F nên

Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên



b/ ( 1 đ)


và
có
;
(Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra
đồng dạng với
( g.g);

c/ ( 2 đ )

đồng dạng với
nên
( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có:
;
( G