UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015

MÔN THI: TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề:
Bài 1: (4 điểm).
Chứng minh rằng: Với mọi
thì
luôn chia hết cho 24.
Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu
;
;
thì tổng
chia hết cho tổng
.
Bài 2: (4 điểm).
a) Thực hiện phép tinh:


b) Tìm giá trị của x để biểu thức y =
có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3: (4 điểm).
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:

Bài 4: (4,5 điểm). Cho tam giác ABC đường cao AH, H ở trong đoạn BC sao cho HC=2BH. Đường thẳng qua C vuông góc với AC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt nhau tại D. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D lên BC.
Chứng minh: 3DK.AH = BC.BK và BK = 2CK.
Tam giác DHC là tam giác gì?
Bài 5: (3,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh O, G, H thẳng hàng.
Trường hợp AH = AO, tìm số đo góc BAC.

-------Hết-------
UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015


HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán lớp 9

Bài 1: (4 điểm)
a) (2 điểm). Với mọi

Ta có:
(0,25 điểm) =
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
Do (n – 1)n(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên nó chia hết cho 6 (0,25 điểm)
Mặt khác: (n – 1)n(n + 1)(n+2) chia hết cho 4 (0,25 điểm)
Nên (n – 1)n(n + 1)(n+2) chia hết cho 24 (0,25 điểm)
Mà
chia hết cho 24 (0,25 điểm)
Do đó:
chia hết cho 24. (0,25 điểm)
b) (2 điểm)
Ta có:

=
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
(0,25 điểm)
Mà
=
(0,25 điểm)
Do đó :
chia hết cho
. (0,25 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a) (2 điểm)
Ta có:
(0,25 điểm)

(0,25 điểm)
Do đó:

=
(0,5 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
(0,5 điểm)
=
(0,25 điểm)
b) (2 điểm)
Ta có:

=
(0,25 điểm)
=
(0,5 điểm)
=
(0,25 điểm)
=
với mọi x (0,5 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 61 khi
tức x = 0 hoặc x = - 5 (0,5 điểm)
Bài 3: a) (2 điểm)
Điều kiện: x
(