PHÒNG GD LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS CHÂU KHÁNH Năm học: 2010 – 2011

Khóa ngày … tháng 11 năm 2010

MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể phát đề)

Bài 1: (6,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:

Cho các số dương
thỏa mãn điều kiện
. Tính giá trị biểu thức:



Bài 2: (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức P, với
và
.




Bài 3: (3,0 điểm)
Cho
và
. Chứng minh rằng:




Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có
. Đường thẳng qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:



Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
trên đường thẳng d.
Chứng minh rằng:
.

-------------------- Hết ---------------------







ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1: a)
(1đ)

(1đ)
b)
(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)
Bài 2: a)

+Nếu
hay
thì
(vô lí) (0,5đ)
+Nếu
hay
thì
(thảo mãn) (1đ)
Vậy nghiệm của phương trình là
(0,5đ)
b)


(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)
Vậy
, với
;
và
(0,5đ)
Bài 3:
a) Ta có:
(0,5đ)
Do đó:
(0,5đ)
Suy ra:
(0,5đ)
Hay:
(0,5đ)
b) Ta có: (2đ)




Bài 4:
Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G. (0,5đ)
Xét hai tam giác vuông
và
có:
.
(vì ABCD là hình vuông) (0,5đ)
.
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (0,5đ)
Do đó:
(0,5đ)
Suy ra:
(0,5đ)
Trong tam giác
có
và
AD là đường cao nên ta có:

(0,5đ)
hay:
(0,5đ)
(0,5đ)

Bài 5:
Ta có:

Suy ra:
. (0,5đ)
Do đó:
là hình thang.
Mà
. Nên
là đường trung bình của hình thang
(0,5đ)
Suy ra:
(0,5đ)
Xét hai tam giác vuông :
và
có:
.
(0,5đ)
.
(đối đỉnh) (0,5đ)
Do đó:

Nên:
(0,5đ)
Vậy
. (0,5đ)





(0,5đ)




Ghi chú: Nếu học sinh có hướng giải khác và có lập luận đúng thì vẫn cho tròn điểm.